INSTITUCION EDUCATIVA
SANTO TOMAS DE AQUINO GUARNE
GUIA TALLER NUMEROS
COMPLEJOS. 2019
NOMBRE__________________________________________________________GRADO___________
CONTENIDOS
Números complejos, problemas que permiten resolver. Unidad imaginaria.
Operatoria con números complejos. Propiedades de los complejos. Elevación a
potencia con exponente racional de números complejos.
ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Lo siguiente es solo
una breve descripción del origen de números complejos, y se intenta dar una
idea del porque han sido creado, o cual fue la circunstancia que llevó a la
creación de los mismos.
Todos los números que conocemos y usamos están englobados en
una categoría matemática, llamada Número Reales, que seguramente te acuerdas. Desde
la utilización misma de los números siempre han surgido diferentes problemas
que pudieron resolverse mediante las armas algebraicas del momento, y se debió
crear o inventar nuevos artilugios para lograr una solución de los mismos, por ejemplo,
el número cero, los números negativos, fraccionarios, etc.
Así fue como nació la necesidad de inventar los números
complejos, que se crearon cuando los matemáticos se encontraron con el problema
de resolver la raíz cuadrada de un numero negativo.
Explicación: Como no todos los problemas pueden resolverse
con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de —1 o
de —8.
Sabemos, por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a
-1.
Simplemente porque (ahora al revés) (—1)3 =
—1.
Igualmente, la raíz cúbica de -8 es igual a -2, porque (—2)3 =
—8.
Hasta acá todo bien, pero que pasa cuando se quería obtener,
por ejemplo, la raíz cuadrada de -4, cuánto es?.si probamos con 2 no puede ser
porque 22 = 4, y si probamos con -2,
tampoco es porque (-2)2=4, también dá 4.
Como se observa es imposible obtener un valor para una raíz
de índice par, en este caso 2 (cuadrada), de un numero negativo, entonces frente a
este inconveniente, se inventaron los números que comenzaremos a utilizar en
este capítulo: los números complejos.
El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la
letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden
representar en las coordenadas reales como hacemos habitualmente. Corresponde
al gran matemático Leonhard Euler,
la designación de tal simbología.
En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el
símbolo i (por “imaginario”), que después de eso se adoptó de manera general, y
por definición: i2=-1
Entonces para el ejemplo anterior, en donde se desea
obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es: 2i de tal
manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i2= 4. (-1)=-4,
valor correcto
Los números complejos tienen muchas aplicaciones importantes
en tecnología o ingeniería, sobre todo en electrónica y electricidad. Hacen
mucho más fácil el trabajar con vectores y con problemas que implican corriente
alterna (ca).
Potencias de i
i0 = 1
i1 = i
i² = −1
i³ = −i
i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para
saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide
el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia
equivalente a la dada.
i22
i22 = (i4)5 · i2 =
− 1
i27 = −i
Ejercicio 2
Calcula las siguientes potencias
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le
llamamos número complejo en forma binómica.
El número a es la parte real del
número complejo.
El número b es la parte imaginaria del
número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un
número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce
a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por C
CONJUGADO Y OPUESTO
DE UN NÚMERO COMPLEJO
Los números complejos a + bi y -a
-bi se llaman opuestos.
Los números complejos z= a + bi y z =
a − bi se llaman conjugados.
A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los
siguientes:
* El conjugado de z es = a – bi ( la
parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta)
* El opuesto de z es – z = – a – bi (la parte real y la parte imaginaria son
opuestas)
Ejemplos:
= – 1 – 2 i = – 1 + 2 i –= 1 + 2 i
= 4 i = – 4 i – = – 4 i
= 6 = 6 –
= – 6
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
componente real y la misma componente imaginaria.
REPRESENTACION
GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO
Los números complejos se representan en unos ejes
cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a + bi se
representa:
1 Por
el punto (a, b), que se llama su afijo
2 mediante
un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje
real, X.
Los afijos de los números imaginarios se
sitúan sobre el eje imaginario, Y.
EJERCICIO 4: Representar los siguientes números complejos:
= – 1 – i = – 3 + 2 i = 2 – 3i
Ejercicio 5: Dado , graficar . ¿Qué relación existe entre ellos?
EJERCICIO 6
Escribe los siguientes complejos en forma de par ordenado y
representa gráficamente:
El módulo de un número complejo es el
módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se
designa por |z|.
|Ejercicio 7:
Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos:
a) 5 – 2 i b)
–3 + 3 i c) 6+
i d) – 1 – i
OPERACIONES CON
NUMEROS COMPLEJOS
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando
y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí,
respectivamente.
(a + bi) + (c + di)
= (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di)
= (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i )
=
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta
que i² = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad
+ bc)i
Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 −
11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando
numerador y denominador por el conjugado de este.
Ejemplo:
8. Adición y
Sustracción de Números Complejos:
a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) = R:
( 22, 10)
b) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5
+ 2 i ) = R:
( 9 , 7 )
c)( 1 + ½ i )
+ ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) = R:
( 0 )
d) ( – 8 ++ (– R:
(– 10 + i )
e) ( R:
( – i )
f) ( R: ()
9. Multiplicación
y División de Números Complejos:
a) ( 10 + 2
i ) . ( 3 + 15 i ) = R:
( 156 i )
b) ( – 5 +
2 i ) . ( 5 + 2 i ) = R:
( – 29 )
c) ( – 1 +
i ) . ( – 1 – i ) = R:
( 2 )
d) – R: (4/5)
e) ( i) . ( i ) = R:
(5 i )
f) ( R:
( 1 + 6 i )
g) ( – 4 +
2 i ) : ( 1 + i ) = R:
( – 1 + 3 i )
h) ( – 1 +
i ) : ( – 1 – i ) = R:
( – i )
i) (4 + 2 i
) : i = R:
( 2 – 4 i )
j) (– R:
( i )
k) (i) : ( i ) = R:
(–)
11) Potencia de Números Complejos:
a) i =
b) i =
c) i =
d) i =
e) ( – i ) =
f) ( – i ) =
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