NÚMEROS COMPLEJOS

Vamos a  conocer otro sistema numérico, los Complejos. aquí esta la guía taller,  para que la trabajes en el salón de clase y en tu casa.

INSTITUCION EDUCATIVA SANTO TOMAS DE AQUINO GUARNE

GUIA TALLER NUMEROS COMPLEJOS. 2019

NOMBRE__________________________________________________________GRADO___________

CONTENIDOS

Números complejos, problemas que permiten resolver. Unidad imaginaria. Operatoria con números complejos. Propiedades de los complejos. Elevación a potencia con exponente racional de números complejos.

ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

 Lo siguiente es solo una breve descripción del origen de números complejos, y se intenta dar una idea del porque han sido creado, o cual fue la circunstancia que llevó a la creación de los mismos.

Todos los números que conocemos y usamos están englobados en una categoría matemática, llamada Número Reales, que seguramente te acuerdas. Desde la utilización misma de los números siempre han surgido diferentes problemas que pudieron resolverse mediante las armas algebraicas del momento, y se debió crear o inventar nuevos artilugios para lograr una solución de los mismos, por ejemplo, el número cero, los números negativos, fraccionarios, etc.

Así fue como nació la necesidad de inventar los números complejos, que se crearon cuando los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un numero negativo.

Explicación: Como no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de —1 o de —8.

Sabemos, por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a -1.

Simplemente porque (ahora al  revés) (—1)³ = —1.

Igualmente, la raíz cúbica de -8 es igual a -2, porque (—2)³ = —8.

Hasta acá todo bien, pero que pasa cuando se quería obtener, por ejemplo, la raíz cuadrada de -4, cuánto es?.si probamos con 2 no puede ser porque 2²  = 4, y si probamos con -2, tampoco es porque (-2)²=4, también dá 4.

 

Como se observa es imposible obtener un valor para una raíz de índice par, en este caso 2 (cuadrada), de un numero negativo, entonces frente a este inconveniente, se inventaron los números que comenzaremos a utilizar en este capítulo: los números complejos.

El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en las coordenadas reales como hacemos habitualmente. Corresponde al gran matemático Leonhard Euler, la designación de tal simbología.

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i (por “imaginario”), que después de eso se adoptó de manera general, y por definición: i²=-1

Entonces para el ejemplo anterior, en donde se desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es:  2i de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i²= 4. (-1)=-4, valor correcto

Los números complejos tienen muchas aplicaciones importantes en tecnología o ingeniería, sobre todo en electrónica y electricidad. Hacen mucho más fácil el trabajar con vectores y con problemas que implican corriente alterna (ca).

Potencias de i

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i²²

i²² = (i⁴)⁵ · i² = − 1

i²⁷ = −i

Ejercicio 2

Calcula las siguientes potencias

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por C

CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Los números complejos a + bi y -a -bi se llaman opuestos.

Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes:

* El conjugado de z es = a – bi   ( la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta)

* El opuesto de z es – z = – a – bi     (la parte real y la parte imaginaria son opuestas)

Ejemplos:

= – 1 – 2 i                                       = – 1 + 2 i                      –= 1 + 2 i

= 4 i                                                 = – 4 i                             – = – 4 i

= 6                                                   = 6                                  – = – 6

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

REPRESENTACION GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa:

 1   Por el punto (a, b), que se llama su afijo

 2   mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.

EJERCICIO 4:  Representar los siguientes números complejos:

                               = – 1 – i                           = – 3 + 2 i                                      = 2 – 3i           

Ejercicio 5:   Dado     ,   graficar . ¿Qué relación existe entre ellos?

EJERCICIO 6  

Escribe los siguientes complejos en forma de par ordenado y representa gráficamente:

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

               

|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos:

a) 5 – 2 i                              b) –3 + 3 i                            c) 6+ i                    d) – 1 – i

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo: 

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo: 

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo: 

8.  Adición y Sustracción de Números Complejos:

a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) =                                                      R: ( 22, 10)

            b) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5 + 2 i ) =                                                       R: ( 9 , 7 )

c)( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) =                                                 R: ( 0 )

d) ( – 8 ++ (–                                                      R: (– 10 + i )

e) (                                       R: ( – i )

f) (                                      R: ()

9.  Multiplicación y División de Números Complejos:

a) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) =                                                                                          R: ( 156 i )

b) ( – 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) =                                                                                            R: ( – 29 )

c) ( – 1 + i ) . ( – 1 – i ) =                                                                                R: ( 2 )

d) –                                                                                                  R: (4/5)

e) ( i) . ( i ) =                                                                              R: (5 i )

f) (                                                                             R: ( 1 + 6 i )

g) ( – 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) =                                                                                R: ( – 1 + 3 i )

h) ( – 1 + i ) : ( – 1 – i ) =                                                                                               R: ( – i )

i) (4 + 2 i ) : i =                                                                                                  R: ( 2 – 4 i )

j) (–                                                                                          R: ( i )

k) (i) : (  i ) =                                                                              R: (–)

11) Potencia de Números Complejos:

a)  i =                                                                             

b) i =                                                                             

c) i  =                                                                              

d)  i     =                                                                       

e) ( – i )   =                                                                  

f) ( – i )  =