POTENCIAS

POTENCIAS Y RADICALES

Propiedades de la Potencia en números reales

La potencia como operación matemática se considera una multiplicación abreviada.

En ella se diferencian dos partes la base, que es el número que se multiplicara, y el exponente, éste nos indica la cantidad de veces que se multiplicara la base por si misma.

La operación potencia dentro de los diferentes conjuntos numéricos respeta determinadas propiedades, en este caso se analizarán para el conjunto de los números reales. Es importante tenerlas en cuenta porque aprendiéndolas se pueden resolver en forma más dinámica los ejercicios combinados

Potencias con exponente entero

Una potencia con exponente entero negativo es igual a la inversa de la potencia con signo positivo en el exponente

Ejemplo:

Una potencia de una fracción con exponente negativo es igual a otra potencia cuya base es la inversa de la fracción original y con exponente positivo

Ejemplo:

Potencia con exponente racional o fraccionario

Podemos pasar de una potencia con exponente fraccionario a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador

Ejemplos:

1

2

3

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción

4

El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción

Propiedades

1 a⁰ = 1 ·

2 a¹ = a

3 Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

     a^m · a ⁿ = a^m+n

Ejemplo: 

(−2)⁵ ·(−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

4 División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

     a^m : a ⁿ = a^{m - n}

Ejemplo: 

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = -8

5 Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

     (a^m)ⁿ=a^{m · n}

Ejemplo: 

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

6 Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

     aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

Ejemplo: 

(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216

7 Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

     aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

Ejemplo: 

(−6)³: 3³ = (−2)³ = −8

Ejercicios

1Escribe en forma de una sola potencia:

1 3³ · 3⁴ · 3 =

2 5⁷ : 5³ =

3 (5³)⁴ =

4 (5 · 2 · 3)⁴ =

5 (3⁴)⁴ =

6 [(5³)⁴]² =

7 (8²)³

8 (9³)²

9 2⁵ · 2⁴ · 2 =

10 2⁷ : 2⁶ =

11 (2²)⁴ =

12 (4 · 2 · 3)⁴ =

13 (2⁵)⁴ =

14 [(2³)⁴]⁰=

15 (27²)⁵=

16 (4³)² =

2Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−2)² · (−2)³ · (−2)⁴ =

2 (−8) · (−2)² · (−2)⁰ (−2) =

3 (−2)⁻² · (−2)³ · (−2)⁴ =

4 2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ =

5 2² : 2³ =

6 2⁻² : 2³ =

7 2² : 2⁻³ =

8 2⁻² : 2⁻³ = 2

9 [(−2)⁻²] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =

10 [(−2)⁶ : (−2)³]³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

3Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−3)¹ · (−3)³ · (−3)⁴ =

2 (−27) · (−3) · (−3)² · (−3)⁰=

3 (−3)² · (−3)³ · (−3)⁻⁴ =

4 3⁻² · 3⁻⁴ · 3⁴ =

5 5² : 5³ =

6 5⁻² : 5³ =

7 5 ² : 5 ⁻³ =

8 5⁻² : 5⁻³ =

9 (−3)¹ · [(−3)³]² · (−3)⁻⁴ =

10 [(−3)⁶ : (−3)³] ³ · (−3)⁰ · (−3)⁻⁴ =

4Realiza las siguientes operaciones con potencias:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5Efectúa:

6Opera:

PROBLEMAS PARA RESOLVER CON POTENCIAS

1.       La Hidra de Lerna es un personaje mitológico que aparece en algunas historias, como la de las 12 pruebas de Hércules. La Hidra era un monstruo con 1 cabeza, pero si se le cortaba, le nacían 2 cabezas en su lugar. Si un héroe intentaba vencerla cortándole todas sus cabezas cada día, ¿cuántas cabezas tendría la Hidra el tercer día? ¿y al cabo de 10 días intentando vencerla?

2.       Un paquete tiene 12 cajas, cada caja tiene 12 estuches y cada estuche tiene 12 marcadores. ¿Cuántos marcadores hay en un paquete? ¿Y en 12 paquetes?

3.       En una tienda reciben 3² cajas de chicles, en cada caja hay 4³ paquetes con 5 chicles cada una ¿cuántos chicles han recibido en total?

4.       Una caja de jugos pequeños tiene un valor de 6⁶. Calcula el valor individual de cada jugo considerando que la caja trae 6 unidades.

6.       En la bodega de un gimnasio tienen guardadas 7³ pelotas de colores, si las quieren repartir en dos grupos de 6² alumnos cada grupo ¿Cuántas pelotas le corresponden a cada alumno?

7.       En una caja hay 2⁵ docenas de huevos. Si 2³ huevos están quebrados ¿Cuántos huevos sanos quedan en la caja?

8.       Antonia ha comprado 5² bandejas de flores. Si cada bandeja tiene 3² filas con 3 cada una ¿Cuántas flores tiene en total?